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11/11/2011

Les boules !

Les mathématiciens adorent utiliser un mot courant pour désigner un truc éminemment abstrait mais très très bien défini. C’est le cas des corps, des anneaux, des idéaux. Les nombres sont entiers, réels, imaginaires, complexes et idéaux eux aussi. Bourbaki a ainsi nommé les boules, les pavés (sous les pavés, la plage), les filtres, le recouvrement, le revêtement, les espaces séparés, les tonneaux, les espaces tonnelés, les espaces polonais, les clans, les tribus…

Une boule topologique n'a qu'un lointain rapport avec une sphère.

En effet, Dans l'espace réel à trois dimensions muni de la norme infini, les boules ont une forme cubique avec des faces parallèles aux axes.

Ou encore, dans un espace muni d'une distance ultramétrique, les boules sont à la fois ouvertes et fermées, tout point d'une boule en est un centre et si deux boules se rencontrent, l'une est contenue dans l'autre. De tels espaces se rencontrent en analyse p-adique mais aussi dans des situations plus élémentaires. Quelle chance !

En cherchant p-adique, on tombe sur un mathématicien français d'origine belge et encore vivant du nom de Tits. Tits qui signifie seins en anglais. Drôle de nom pour un spécialiste des boules ! Jacques Tits est né en 1930. Il est en fait le spécialiste des BN-paires (pas les chocos), très utiles dans la théorie des groupes algébriques surtout pour les groupes définis sur les nombres p-adiques. Bien sûr, les boules !

Tits a créé des mots lui aussi. Il inventa les notions importantes de squelette, de cimetière, et d'ossuaire. Les mathématiciens sérieux, les censeurs, les ont rebaptisé murs, appartements et immeubles... Franchement pourquoi pas des briques et du mortier tant qu’on y est. C'est un scandale. On veut décourager les jeunes gothiques de s’intéresser aux maths !

09/11/2011

Cube

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Les habitants de l'île de Délos souffraient de la peste. Délos est une île grecque des Cyclades de 3,5 km2, aujourd’hui inhabitée ou l’on peut voir les restes d’un temple à Apollon. L’île  aurait compté 25'000 habitants. L'oracle recommanda de purifier l’île et de doubler le volume de l’autel dédié à Apollon.


Pour la purification, très simple, on interdit de naître et de mourir sur l’île. Pour l’autel, problème… l’autel était exactement cubique. De nombreuses tentatives échouaierent. La peste redoublait. Alors, les déliens allèrent chercher les conseils de Platon. Platon sécha… finalement, il prétendit qu’Apollon n'avait pas besoin d'un nouvel autel et que les déliens feraient bien de s’intéresser de près à la géométrie.

 

Le doublement du cube est un des trois problèmes de l’antiquité avec la quadrature du cercle, la trisection de l’angle. Il est impossible de trouver racine cubique de 2 avec une règle et un compas. Démonstration faite en 1837 par un mathématicien français Pierre-Laurent Wantzel. On ne vantera jamais assez l’école française de mathématique. A noter que l’on peut résoudre le problème du doublement du cube et de la trisection par pliage de papier. Ah, si Platon avait connu l’origami.

05/11/2011

Bestioles

1265115.jpgLa cicadelle (Homalodisca vitripennis ou encore coagulata) improprement appelée  mouche pisseuse est proche des cigales. Elle mesure entre 1,5 et 2 cm. On l’appelle pisseuse car elle suce la sève des arbres, séve peut nourissante et dont elle rejette cent à mille fois son propre poids chaque jour ce qui provoque une fine pluie légèrement sirupeuse à l'ombre des arbres.

Cette bestiole, originaire du sud des États-Unis, où elle ne pose pas de problème, s'est propagée en Californie (1988), en Polynésie française(1999), à Hawaii 2004 et à l'île de Pâques 2005, où elle est considérée comme une espèce invasive. Elle est susceptible de transmettre des maladies aux plantes.

Une méthode de lutte biologique contre la cicadelle pisseuse consiste à installer une petite guêpe qui pond ses œufs dans les larves de cicadelle. Ceci réduit notablement le nombre de cicadelles.

Mais les mathématiciens font mieux, ils simulent la vie et la reproduction de la cicadelle pisseuse. Celle-ci vit en symbiose avec deux bactéries (ses symbions). Bactéries qui ont aussi des échanges entre elles pour survivre. En simulant ainsi la vie des mouches pisseuses et de ses hôtes, les maths vont peut-être permettre de trouver une manière de limiter sa prolifération. On pourrait peut-être supprimer une de ces bactéries symbiotes qui aide la cicadelle à synthétiser certaines protéines… mais là, je m’avance un peu.

Symbiose : de sun> avec et bio> la vie. Association entre deux organismes. Une sorte de parasitisme dans l'intérêt des deux (ou plus, voir cicadelle pisseuse).  Symbion - Un des deux alliés. Symbiote : adj > qui vit en symbiose

29/04/2011

Borda

 

En écrivant l’article sur les îles Kiribati je découvre qu’ils utilisent la méthode de vote Borda. Le président (Te Beretitenti) est à la fois le chef de l'État et du gouvernement. Il est élu au suffrage universel direct, parmi les trois ou quatre candidats proposés par le parlement en son sein, selon la méthode Borda.

 

J’avais parlé ici des travaux de Condorcet sur les élections et la difficulté de mettre en place un système satisfaisant. En fait Condorcet avait proposé une méthode que Borda tenta de simplifier, ce qui ne plut pas à Condorcet. Les deux méthodes décrivent des techniques de vote par pondération qui conduisent à plus d’équité.

La méthode Borda fut utilisée par le sénat romain. Elle est utilisée aux US pour les élections sportives, ainsi qu’en Slovénie (parlement)  et à Kiribati (président). En France, elle nous aurait éviter le 21 avril.

Jean-Charles, chevalier de Borda, (1733-1799) est un mathématicien, physicien, politologue et marin français. Il a entre autre participé à la mesure du méridien de Dunkerque à Barcelone commanditée par l'Académie des Sciences fraîchement révolutionaire.

22/04/2011

Jumeaux

Les nombres premiers jumeaux sont des nombres premiers dont la différence est de 2.  La liste commence par 3-5 ; 5-7 ; 11-13 ; 17-19 ; 29-31 ; 41-43 ; 59-61 … On a conjecturé (proposé sans démonstration) que, comme les nombres premiers (démonstration due à Euclide), il y avait une infinité de premiers jumeaux.

Pourtant Viggo Brun, un mathématicien norvégien (1882-1978), a montré que la somme des inverses de ces jumeaux (donc 1/3 + 1/5 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19…) était un nombre fini ce qui semble remettre en cause l’infinité des jumeaux. Donc la somme converge et les avis divergent. Que faire ? Qui s’y colle ?

Les plus grands nombres premiers jumeaux connus à ce jour sont 2003663613 × 2195000 - 1 et 2003663613 × 2195000 + 1 qui possèdent 58 711 chiffres en écriture décimale et furent découverts en 2007 par Éric Vautier