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Corps,

Groupes

et tribus.

L'ensemble de Mandelbrot (en noir),

illustration d'un système dynamique

dans le plan complexe

En math, les mots prennent des sens un peu étrange. Il en va ainsi des corps, des anneaux, des groupes ou des tribus. Les nombres peuvent être réels ou imaginaires. ils peuvent aussi perdre la raison et devenir irrationnels. Certains d’entre eux, mais pas tous, sont alors transcendants. A noter que c’est comme dans la vie : une personne rationnelle n’est jamais transcendante et que les gens irrationnels ne sont pas tous transcendants, loin s'en faut.

Les nombres transcendants refusent catégoriquement d’être des solutions d’une équation polynomiale. On les comprend. C'est un corps plutôt rebelle et même anarchiste. Leur refus est intrinsèque, donc indépendant de tous caractères extérieurs. D’ailleurs, pourquoi y aurait-il des caractères extérieurs ? On ne sait pas.

A noter que rationnel, même pour un nombre, vient aussi de ratio, raison. La raison d’un nombre, c’est quand il accepte de se retrouver sous forme de ratio. La raison du plus fort est toujours la meilleure, c'est pareil avec les nombres. Les nombres réels sont donc des nombres bien sages contrairement aux irrationnels transcendants. Quand aux imaginaires, on les appelle aussi complexes, ce sont juste des réels un peu plus difficiles à imaginer. C’est grâce à eux que l’on construits ces merveilleuses fractales si mystèrieuses et attirantes. Mais attention, elles mènent tout droit au chaos.

Quant à la tribu, c’est un ensemble non vide de parties de X, stable par complémentation et par union dénombrable (donc aussi par intersection dénombrable). Les tribus permettent de définir rigoureusement la notion d'ensemble mesurable. En ces temps de rigueur cachée, les tribus stables par complémentation se font très rares.

* La raison d'être des nombres réels est d'offrir un ensemble de nombres avec les bonnes propriétés permettant la construction de l'analyse