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En écrivant l’article sur les îles Kiribati je découvre qu’ils utilisent la méthode de vote Borda. Le président (Te Beretitenti) est à la fois le chef de l'État et du gouvernement. Il est élu au suffrage universel direct, parmi les trois ou quatre candidats proposés par le parlement en son sein, selon la méthode Borda.

J’avais parlé ici des travaux de Condorcet sur les élections et la difficulté de mettre en place un système satisfaisant. En fait Condorcet avait proposé une méthode que Borda tenta de simplifier, ce qui ne plut pas à Condorcet. Les deux méthodes décrivent des techniques de vote par pondération qui conduisent à plus d’équité.

La méthode Borda fut utilisée par le sénat romain. Elle est utilisée aux US pour les élections sportives, ainsi qu’en Slovénie (parlement)  et à Kiribati (président). En France, elle nous aurait éviter le 21 avril.

Jean-Charles, chevalier de Borda, (1733-1799) est un mathématicien, physicien, politologue et marin français. Il a entre autre participé à la mesure du méridien de Dunkerque à Barcelone commanditée par l'Académie des Sciences fraîchement révolutionaire.

Les nombres premiers jumeaux sont des nombres premiers dont la différence est de 2.  La liste commence par 3-5 ; 5-7 ; 11-13 ; 17-19 ; 29-31 ; 41-43 ; 59-61 … On a conjecturé (proposé sans démonstration) que, comme les nombres premiers (démonstration due à Euclide), il y avait une infinité de premiers jumeaux.

Pourtant Viggo Brun, un mathématicien norvégien (1882-1978), a montré que la somme des inverses de ces jumeaux (donc 1/3 + 1/5 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19…) était un nombre fini ce qui semble remettre en cause l’infinité des jumeaux. Donc la somme converge et les avis divergent. Que faire ? Qui s’y colle ?

Les plus grands nombres premiers jumeaux connus à ce jour sont 2003663613 × 2¹⁹⁵⁰⁰⁰ - 1 et 2003663613 × 2¹⁹⁵⁰⁰⁰ + 1 qui possèdent 58 711 chiffres en écriture décimale et furent découverts en 2007 par Éric Vautier

La voiture et les chèvres.

Casse-tête inspiré d'un jeu télévisé et pompé sur Wikipedia y compris le dessin.

Le jeu oppose un présentateur à un candidat (le joueur). Ce joueur est placé devant trois portes fermées. Derrière l'une d'elles se trouve une voiture et derrière chacune des deux autres se trouve une chèvre. Il doit tout d'abord désigner une porte. Puis le présentateur ouvre une porte qui n'est ni celle choisie par le candidat, ni celle cachant la voiture. Le présentateur sait quelle est la bonne porte dès le début. Le candidat a alors le droit ou bien d'ouvrir la porte qu'il a choisie initialement, ou bien d'ouvrir la troisième porte.

La question qui se pose au candidat est : Quelle est la meilleure stratégie : Faire un nouveau choix ou rester avec le choix initial ? Les chances de gain vont-elles augmenter, diminuer ou bien resteront-elles les mêmes ?

Cette question a mis en déroute pas mal de mathématiciens essentiellement dû à un mauvaise formulation du problème. La question posée ici est correcte. Saurez-vous y répondre sans google.

En mathématiques comme en littérature, les prix vont souvent aux gloires confirmées.

C’est le cas du prix Abel, un sorte de nobel des maths, attribué au sympathique, mais pas tout jeune, John Milnor pour ses travaux sur les sphères exotiques.

La sphère exotique n’est pas un sphère qui viendrait de l’au-delà. Exo en grec veut dire étranger, extérieur, comme le alius ou le foranus de ma note précédente. Non, la sphère exotique se promène dans des espaces à sept dimensions. Cet objet bizarre possède une structure variable, son étude a permis à Milnor de créer un domaine nouveau appelé Topologie Différentielle. 

Ce sera tout pour aujourd’hui question prise de tête. A part peut-être, pour ceux que ça amuse, quelques objets comme le Portrait d’Orbite ou l’ensemble de Julia. Gaston Julia, Pierre Fatoiu ou encore Adrien Douady sont des mathématiciens français qui ont beaucoup contribué avec Nicolas Bourbaki au renom de la Mathématique française. Pour le plaisir des yeux, quelques fractales qui sont des projections en deux dimensions d'objets du plan complexe. 

Corps,

Groupes

et tribus.

L'ensemble de Mandelbrot (en noir),

illustration d'un système dynamique

dans le plan complexe

En math, les mots prennent des sens un peu étrange. Il en va ainsi des corps, des anneaux, des groupes ou des tribus. Les nombres peuvent être réels ou imaginaires. ils peuvent aussi perdre la raison et devenir irrationnels. Certains d’entre eux, mais pas tous, sont alors transcendants. A noter que c’est comme dans la vie : une personne rationnelle n’est jamais transcendante et que les gens irrationnels ne sont pas tous transcendants, loin s'en faut.

Les nombres transcendants refusent catégoriquement d’être des solutions d’une équation polynomiale. On les comprend. C'est un corps plutôt rebelle et même anarchiste. Leur refus est intrinsèque, donc indépendant de tous caractères extérieurs. D’ailleurs, pourquoi y aurait-il des caractères extérieurs ? On ne sait pas.

A noter que rationnel, même pour un nombre, vient aussi de ratio, raison. La raison d’un nombre, c’est quand il accepte de se retrouver sous forme de ratio. La raison du plus fort est toujours la meilleure, c'est pareil avec les nombres. Les nombres réels sont donc des nombres bien sages contrairement aux irrationnels transcendants. Quand aux imaginaires, on les appelle aussi complexes, ce sont juste des réels un peu plus difficiles à imaginer. C’est grâce à eux que l’on construits ces merveilleuses fractales si mystèrieuses et attirantes. Mais attention, elles mènent tout droit au chaos.

Quant à la tribu, c’est un ensemble non vide de parties de X, stable par complémentation et par union dénombrable (donc aussi par intersection dénombrable). Les tribus permettent de définir rigoureusement la notion d'ensemble mesurable. En ces temps de rigueur cachée, les tribus stables par complémentation se font très rares.

* La raison d'être des nombres réels est d'offrir un ensemble de nombres avec les bonnes propriétés permettant la construction de l'analyse

On connaît Evariste Galois,

mort en duel à 21 ans,

après avoir noté,

la nuit précédant sa mort,

ses découvertes

en mathématiques.

Les travaux de Galois et ceux d’Abel (mort à 26 ans) ont largement contribué à poser les fondements des maths modernes ! 

Jacques me fait découvrir Alfred Döblin, un grand écrivain allemand du XX ième siècle ; une lacune de plus dans ma culture littéraire, et sans doute pas la dernière. Je découvre aussi qu’Alfred avait un fils Wolfgang, devenu français en même temps que son père, et qui s’est suicidé à 25 ans en juin 40 pour ne pas être pris par les nazis.

Wolfgang  était mathématicien et, comme Galois, avant de mourir, a écrit quelques pensées mathématiques envoyées sous pli cacheté 11-668 à l'Académie des sciences. L'enveloppe du pli cacheté comportait en titre Sur l'équation de Kolmogoroff de W. Dœblin et ne fut ouverte qu'en 2000.  

Le pli 11-668 contenait donc des travaux sur la résolution de l'équation de Kolmogorov (théorème démontré indépendamment en 1965) Une histoire de mouvements aléatoires (des calculs sur la densité de la position d'une particule soumise à des phénomènes de diffusion, mais en utilisant des méthodes trajectorielles sur ces généralisations du mouvement brownien plutôt que des méthodes analytiques). Ces idées, sur lesquelles sont fondées le calcul stochastique ou calcul d'Itô, seront retrouvées indépendamment à partir des années 1940, notamment par le mathématicien Kiyosi Itô.

Encore des liens sur France Culture 

André Weil avait fixé la limite d’âge à 50 ans pour rester chez Bourbaki, il semble bien que 25 aurait suffit. En math, on est pas sérieux quand on a plus de trente ans.

Ce blog est éclectique, la preuve n’est plus à faire.

Un de mes thèmes favoris est la mathématique et dans ce cadre j’ai parlé de la résolution du groupe E8 de Lie et d’un français mêlé à cette sombre histoire.

Eh bien voilà qu’un surfeur américain de 38 ans, Garrett Lisi (photo) dit avoir découvert la fameuse « théorie du tout » dans une version extrêmement simple et ceci grâce en partie à ce groupe E8 de Lie et à d’autres babiolles comme les champs de Yang-Mills. (Toutes les théories quantiques des champs relativistes, le modèle électrofaible et la chromodynamique quantique par exemple, sont des théories de Yang-Mills. Convenablement formulée, la relativité générale d’Einstein est elle aussi une théorie de jauge avec une structure de Yang-Mills.)

Voilà, pour en savoir plus allez ça et là sur la toile, elle bruisse de la théorie du surfeur. Et ce n’est pas parce qu’on y comprend quedalle que l’on va se priver d’en parler. Une chose est sûre, il faudra pas mal de temps pour savoir si cette théorie tiens le coup du point de vue des maths, ce qui n’en ferait encore qu’une théorie… et encore un peu plus de temps pour monter des expérienceS qui démontreront à coup sûr sa validité.

En prévision vous pouvez noter par avance dans les commentaires à cette note toutes vos questions non résolues.  J'en ferais un receuil que j'enverrai à mon pote Garrett le surfeur.

Cela a l'air d'une blague mais il semble bien que quelques physiciens des plus respectables prennent le papier de Garrett très au sérieux. Garret de son côté garde la distance et la modestie qui convient. A suivre donc...