Sphère cornue

Connaissez-vous les sphères cornues ?

Savez-vous ce qu’est un espace connexe ?

La France n’est pas connexe, L’Espagne non plus. Par contre la France métropolitaine sans la Corse et les enclaves est connexe et ce que les espagnols appellent La Peninsula est aussi connexe à condition de ne pas considérer les Baléares comme partie de la Peninsula... En topologie, un espace connexe est donc un espace d’un seul tenant. Facile !

Le mathématicien lyonnais Camille Jordan (1838-1922) tenait absolument à démontrer qu’un lacet posé sur un plan partageait l’espace en deux parties. En effet, contrairement à Kant qui pensait que les mathématiques sont fondées sur l'évidence intuitive des choses, Jordan croit en la démonstration à tout prix... et donc...

Il démontre très difficilement et plus ou moins bien le coup du lacet. Notamment, il explique qu’une droite (verte) tracée d’un point à l’intérieur du lacet (bleu) le coupe un nombre impair de fois, et une droite (rouge) tracées d'un point extérieur le coupe un nombre pair de fois.

D’autre feront d’autres démonstrations et bien sûr tenteront d’étendre le problème aux dimensions supérieur à 2. C’est une manie chez les mathématiciens de tenter des généralisations. Mais en réfléchissant aux surfaces fermées de l’espace*, Alexander a découvert en 1923 qu’il existait une drôle de bestiole qui ne se laissait pas enlacer même avec le meilleur lacet ou lassot. C’est la sphère cornue d’Alexander. Une fractale. Voilà comment on la construit... Photo et video.

La sphère cornue est appelé une surface pathologique. En mathématiques, un objet pathologique désigne un objet qui s'oppose à l'intuition que l'on a de la situation générale. Un peu malade quand même.

Je vous laisse méditer la phrase de Poincaré :

« La logique parfois engendre des monstres. On vit surgir toute une foule de fonctions bizarres qui semblaient s'efforcer de ressembler aussi peu que possible aux honnêtes fonctions qui servent à quelque chose. Plus de continuité, ou bien de la continuité, mais pas de dérivées [...] Autrefois, quand on inventait une fonction nouvelle, c'était en vue de quelque but pratique ; aujourd'hui, on les invente tout exprès pour mettre en défaut les raisonnements de nos pères, et on n'en tirera jamais que cela. »

* Quel est le nombre de dimensions d’une surface fermée de l’espace, surface fractale, comme la sphère cornue, 2 ou 3 ?

On peut penser que la réponse est 2, virgule des bricoles. Les fractales définissent des espaces à dimensions non entières. Les matheux comprendront pourquoi.