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13/09/2007

AKS

Cela fait longtemps que ce blog n’a pas parlé de mathématiques. Je suis allé faire un tour chez Lhuna qui recense avec ses élèves les manières de compter. Ce qui m’a amené, je ne sais pas trop comment ni pourquoi sur ce fameux algorithme AKS. Comment ? Vous ne connaissez pas AKS ? On va combler cette lacune.

En août 2002, trois chercheurs indiens annoncent qu’ils ont trouvé un test de primalité déterministe en temps polynomial. La belle affaire me direz vous ! Eh bien figurez-vous que c’est un truc très vachement (vache sacrée bien sûr) étonnant.

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« New Method Said to Solve Key Problem in Math » titrait le New York Times du 8 août 2002. (A) -Manindra Agrawal, (K) -Neeraj Kayal et (S) - Nitin Saxena de l’ Indian Institute of Technology ont trouvé un algorithme d’une éclatante simplicité et d’une surprenante élégance. Quelques jours plus tard, les experts s’enthousiasment. Quatre jours avant le gros titre du New York Times, un dimanche, les trois auteurs avaient envoyé à quinze experts un preprint de neuf pages intitulé « PRIMES is in P ». Le soir du même jour Jaikumar Radhakrishnan et Vikraman Arvind, deux papes de ce domaine des mathématiques, leur envoyaient leurs félicitations. Le lundi, un des maîtres du sujet, Carl Pomerance, vérifiait le résultat et, dans son enthousiasme, organisait un séminaire pour l’après-midi et informait Sara Robinson du New York Times. Le mardi le preprint était en accès libre sur Internet. François Morain fit un exposé sur ce sujet au séminaire Bourbaki de mars 2003. Et le vendredi, Dan Bernstein affichait sur le web une amélioration de la preuve du résultat principal, qui tenait en une seule page.

Bref, la brièveté, inhabituelle en mathématiques, de la période de vérification reflète la concision et l’élégance de l’argument et sa simplicité technique. Une preuve, simple, courte, innovante et tellement plaisante « suited for undergraduates ».

Deux autres choses étonnantes:

  • Deux des auteurs, Kayal et Saxena, venaient juste de recevoir leur diplôme de licence en informatique.
  • Cette découverte sensationnelle est accessible à l’« homme ordinaire » ce qui est inédit pour les mathématiques de ces cent dernières années. 

Pour être honnête, je dois avouer que, soit cette dernière prétention est très excessive, soit je suis un homme « sous-ordinaire ». Au départ, j'étais content, cela partait du petit théorème de Fermat : (x − a)^n ≡  (x^n − a) mod n... des nombres de Sophie Germain. Puis soudain quelques anneaux et corps plus loin, j'ai perdu pied... Au secours!

Bref, à lire superficiellement la démonstration, je veux bien admettre que je pourrais sans doute tenter de la comprendre un jour (mais je n’ai pas envie :-) alors que, j’ai abandonné sans même lutter l’idée même de comprendre la démonstration de Wiles du grand théorème de Fermat. 

A votre bon coeur c'est « suited for undergraduates ».

21/03/2007

Fokko du Cloux

medium_Fokko.jpgFokko du Cloux

(photo)

Poésie

des mathématiques

et

Poisson

en pate feuilletée

Parmi les chercheurs les plus impliqués dans la solution d’E8 dont j’ai parlé hier, il y avait un lyonnais nommé Fokko du Cloux. J’ai la tristesse de vous dire que Fokko est décédé le 11-novembre 2006 dans la force de l'âge. C’était un homme remarquablement intelligent, capable de comprendre, et même d'écrire, un texte tel que celui-ci :


Pour une algèbre de Lie nilpotente réelle, on considère une orbite coadjointe dans le dual de cette algèbre. C'est une feuille symplectique de la structure de Poisson de ce dual. L'algèbre des fonctions régulières sur l'orbite est une algèbre de Poisson-Weyl. On a ainsi l'existence de fonctions régulières sur l'orbite vérifiant les relations de Darboux. Le premier problème étudié est celui du prolongement de ces fonctions par des fonctions sur le dual, vérifiant encore les relations de Darboux. On montre l'existence de relèvements (homomorphismes d'algèbres de Poisson) de l'algèbre de Poisson-Weyl précitée dans le complété de l'algèbre symétrique de l'algèbre de Lie (complété pour la topologie associée à la filtration par les puissances de l'idéal attaché à l'orbite). Il est muni naturellement d'une structure d'algèbre de Poisson. On compare cette algèbre à celle donnée par la structure de Poisson transverse à l'orbite… La méthode des orbites associe à l'orbite coadjointe un idéal primitif de l'algèbre enveloppante. Cette thèse est inspirée de l'étude faite par Fokko du Cloux du voisinage d'un tel idéal primitif. Notre philosophie est que cette algèbre est une quantification de la structure de Poisson transverse à l'orbite.

On ne peut qu’être philosophiquement d’accord et même vachement admiratifs. De plus, comble de la délicatesse, on peut faire cuire le Poisson en feuilletages [texte de Michel Saint-Germain, Fokko était rapporteur de sa thèse]

Feuilletages de Lie La cohomologie basique d'un feuilletage Riemannien est de dimension finie. Exemples de feuilletages de Lie sur une variété compacte qui ne se déforment pas en des feuilletages de Lie à holonomie discrète. En particulier, nous prouvons des généralisations du théorème de Denjoy et d’un lemme classique de Kopell pour des groupes abéliens. Ensuite, nous appliquons les techniques introduites à l’étude des feuilletages de codimension 1 dont la régularité transverse est intermédiaire.

20/03/2007

E8

medium_MSLie_1.gif

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Sophus Lie

Mathématicien

Norvégien

.

Plus d’un siècle après sa découverte et après quatre ans d'efforts, des scientifiques sont venus à bout d'E8, le plus grand groupe de Lie complexe de type exceptionnel. 

Mais qu’est ce qu’un groupe de Lie ? Un groupe de Lie est une variété différentielle réelle ou complexe munie d'une structure de groupe, les opérations sur ce groupe doivent être différentiables ou holomorphes. Un concept introduit par Sophus Lie en 1888, et utilisé en physique quantique.

Je sens que vous aimeriez en savoir plus. Et bien sachez qu’il est également possible de définir un groupe de Lie comme une variété différentielle munie d'opérations de groupe seulement continues. Cette définition est équivalente à la précédente et est une interprétation du 5e problème de Hilbert... A savoir aussi que la dimension d'un groupe de Lie est définie comme sa dimension en tant que variété.

Dans la série, les mathématiciens sont de formidables poètes, demain, je vous en dirais plus. C’est promis !

27/08/2006

Hilbert

medium_hilbert.jpg.

"La théorie de la démonstration de Hilbert faisait partie intégrante de la mathématique, dont elle constituait les indispensables prolégomènes"

(BOURBAKI, Hist. math., 1960, p.57).
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David Hilbert est la figure emblématique des maths du XXè s. Son oeuvre est immense, comparable à celle de Poincaré. Hilbert a donné l'impulsion de nombreuses recherches mathématiques du XXè s., et a créé une école allemande qui domina trente années durant.

Le 8 août 1900, au Second Congrès International des Mathématiciens réuni à Paris, David Hilbert a profondément changé la face des mathématiques. Et pourtant, ce jour-là, il n'a annoncé aucun théorème nouveau, aucun résultat. Rien de tout cela. Au contraire même, ce jour-là, Hilbert a posé 23 problèmes à la communauté des mathématiciens. Ces problèmes ont été le moteur de nombreuses recherches tout au long du siècle dernier. Dans une conférence restée un morceau d'anthologie, Hilbert essaie de deviner le futur d'une science. La plupart des 23 problèmes furent au coeur de nombreuses recherches. Il en reste 3 encore ouverts à l'heure actuelle.

26/08/2006

Sonnet de Chançay

Laissons Pauline et Alphonse vivrent quelques temps leur idylle 

Je vous présente deux génies: André et Simone Weil

Soit une multiplicité vectorielle,
Un corps opère seul, abstrait, commutatif.
Le dual reste loin, solitaire et plaintif,
Cherchant l'isomorphie et la trouvant rebelle.


Soudain bilinéaire a jailli l'étincelle
D'où naît l'opérateur deux fois distributif.
Dans les rêts du produit tous les vecteurs captifs
Vont célébrer sans fin la structure plus belle.


Mais la base a troublé cet hymne aérien :
Les vecteurs éperdus ont des coordonnées.
Cartan ne sait que faire et n'y comprend plus rien.

Et c'est la fin. Opérateurs, vecteurs, foutus. 
Une matrice immonde expire. Le corps nu
Fuit en lui-même au sein des lois qu'il s'est données.


Ce sonnet, trouvé ici, composé par André Weil, résume, paraît-il, les discussions du congrès de Chançay tenu en septembre 1937. André Weil était la cheville ouvrière de Nicolas Bourbaki et le frère de la philosophe Simone Weil. Bourbaki était/est une association secrète de mathématiciens qui ont réformé la mathématique (le singulier est bourbachique) au XXième. Avec le mathématicien allemand Hilbert, Bourbaki pose les bases d’une école de pensée dite formaliste.